Hors série – Aide au calcul vectoriel


Bonjour à tous ! Cette semaine un article totalement différent des autres, je vais vous aider au calcul matriciel, avec ce qui m’a permit de les calculer immédiatement et ce en 4 étapes seulement !

Pour rappel, le calcul vectoriel est très utilisé en physique et en Sciences de l’Ingénieur, dans les calculs de dynamique, l’électrostatique, …

Le calcul vectoriel se décline en deux parties : le produit scalaire et le produit vectoriel. Le produit scalaire, comme son nom l’indique, renvoie un scalaire : il faut donc veiller à obtenir un réel et nom un vecteur ! Le produit vectoriel quant à lui donne un vecteur orthogonal aux deux vecteurs à multiplier.

Avant de commencer les astuces, posons une base orthonormée directe ; on suppose qu’un solide 2 (O, x2, y2, z2) soit tourne d’un angle α autour de 1 (O, x1, y1, z1) suivant Oz1, ce qui donne ce repère de changement de base suivant :

1

Le produit scalaire

Comme dit précédemment, le produit scalaire renvoie un réel positif ou négatif, et correspond à la projection du premier vecteur sur le deuxième. Par exemple, la projection de x1 sur x2 s’écrit x1.x1 (avec des vecteurs mais je ne peux pas les écrire ici) que l’on peut représenter ainsi :

2bis.png

Donne le produit scalaire suivant :

x1x2

On peut aussi décomposer le vecteur x2 dans la base 1. Pour faire ce calcul de décomposition, j’ai une technique assez simple qui consiste à dessiner le repère de changement de base ci-dessus en prenant soit d’avoir un angle α≈20° pour ne pas se tromper. On peut tracer aisément la projection d’un vecteur dans l’autre base :

2

J’ai décomposé le vecteur x2 dans la base 1, on remarque qu’avec l’angle de 20° (ou π/6) on peut clairement identifier des longueurs différentes, en rouge suivant y1 et en jaune suivant x1.

Pour le produit scalaire, la grande longueur (en jaune) correspond au cosinus ; la petite (en rouge) correspond au sinus car l’angle est petit. Il est alors facile d’écrire :

x2

Récapitulatif :

  1. On fait le repère de changement de base avec un angle petit (environ 20°)
  2. On fait la projection orthogonale (avec un angle droit) du premier vecteur sur le deuxième
  3. Si on obtient la grande longueur on aura cosinus, sinon ce sera sinus pour la petite longueur
  4. Si la projection est dans le même sens que le premier vecteur on aura un signe +, sinon on aura un signe –

Le produit vectoriel

Pour le produit vectoriel, les choses sont légèrement différentes. Comme le produit vectoriel correspond à une aire entre les deux vecteurs et orienté normal à cette aire, on a dans le repère définit précédemment :

3

Avec la technique des aires, il est facile de détermine le produit vectoriel entre deux vecteurs proches, par exemple x2∧y1 donne ±cos(α)z1 et x2∧x1 donne ±sin(α)z1.

Il ne reste plus qu’à déterminer si le signe est + ou -, on peut pour cela utiliser la règle des trois doigts de la main droite (ça ne marche pas avec la main gauche !) :

Regle_main_droite.svg.png

Si on a x vectoriel y on a +z car on va dans le sens des x,y,z croissant ; sinon on a par exemple avec y ∧ x = -z (sens inverse : z, y, x).

Voilà donc comment on peut écrire simplement un produit vectoriel :

x1vx2

Récapitulatif :

  1. On trace le repère de changement de base avec un angle petit (environ 20°)
  2. On colorie la plus petite aire entre les deux vecteurs
    • Si on a x1∧y2, on prend l’aire entre de -x1 et y2 pour plus de simplicité.
  3. Si l’aire est grande, on aura du cosinus, sinon si c’est la petite aire, ce sera du sinus
  4. Avec la main droite on définit le pouce comme le premier vecteur, l’index comme le deuxième. Si le majeur vient vers soit, on a le signe +, sinon c’est le signe –

 

Voilà vous savez tout ! J’espère que vous avez compris globalement ma technique malgré la difficulté d’expliquer cette technique par écrit.

Il y a aussi une autre technique, moins visuelle qui consiste à dire que le cosinus est la base du produit scalaire (le sinus pour le produit vectoriel) et que chaque déphasage de π/2 (90°) donne le sinus, puis -cosinus puis -sinus, … (donc cosinus, … pour le produit vectoriel). Je trouve que cette technique est plus difficile et moins directe que celle que j’ai, ou la seule difficulté est dans le tracé correct du repère de changement de base.

Si vous avez des questions n’hésitez pas à les poser en commentaire c’est sympa 😉

Attention sur internet on trouve des aberrations totales sur la règle des 3 doigts de la main droite, il faut bien prendre x=pouce, y=index et z=majeur sinon on n’a pas une base directe (qui tourne dans le sens trigonométrique) :

regle-des-trois-doigts-de-la-main-droite

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